Question

如圖，高36米的樓房AB正對(duì)著斜坡CD，點(diǎn)E在斜坡CD的中點(diǎn)處，已知斜坡的坡角（即∠DCG）為30°，AB⊥BC．

（1）若點(diǎn)A、B、C、D、E、G在同一個(gè)平面內(nèi)，從點(diǎn)E處測(cè)得樓頂A的仰角α為37°，樓底B的俯角β為24°，問(wèn)點(diǎn)A、E之間的距離AE長(zhǎng)多少米？（精確到十分位）

（2）現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)E處挖去部分斜坡，修建一個(gè)平行于水平線BC的平臺(tái)EF和一條新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比為：1．某施工隊(duì)承接這項(xiàng)任務(wù)，為盡快完成任務(wù)，增加了人手，實(shí)際工作效率提高到原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建多少米？

（參考數(shù)據(jù)：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）

Answer 1

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題；分式方程的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．

【分析】（1）延長(zhǎng)FE交AB于M，設(shè)ME=x，根據(jù)直角三角形函數(shù)得出AM=tanα•x，BM=tanβ•x，然后根據(jù)tanα•x+tanβ•x=36，即可求得EM的長(zhǎng)，然后通過(guò)余弦函數(shù)即可求得AE；

（2）根據(jù)BM=NG=DN，得到DN的長(zhǎng)，然后解直角三角形函數(shù)求得EN和FN，進(jìn)而求得EF和DF的長(zhǎng)，然后根據(jù)題意列出方程，解方程即可求得．

【解答】解：（1）延長(zhǎng)FE交AB于M，

∵EF∥BC，

∴MN⊥AB，MN⊥DG，

設(shè)ME=x，

∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，

∵AB=36，

∴tanα•x+tanβ•x=36，

∴tan37°x+tan24°x=36，

0.75x+0.45x=36，

解得x=30，

∴AE==≈37.5（米）；

（2）延長(zhǎng)EF交DG于N，

∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC，

∴DN=GN=13.5（米），

∵∠DCG=30°，

∴∠DEN=30°，

∴EN=DN•cot30°=13.5×，

∵=，

∴∠DFN=60°，

∴∠EDF=30°，F(xiàn)N=DN•cot60°=13.5×，

∴DF=EF=EN﹣FN=13.5×，

∴EF+DF=27×=18，

設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建y米，

根據(jù)題意得， =+2，

解得x=3（米），

經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，

答：施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天修建3米．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，題目中涉及到了仰俯角和坡度角的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．