Question

在數(shù)學上稱長與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形ABCD中，當AB=

1+ 5

2

BC時，稱矩形ABCD為黃金矩形ABCD．請你證明黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構(gòu)成．

Answer 1

分析：如果在黃金矩形ABCD的較長邊AB上截取AE=BC，另一邊DC上截取DF=BC，連接EF，那么可以證明四邊形AEFD是正方形；然后證明矩形BCFE的寬與長的比是黃金分割比即可．

解答：證明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，連接EF．
∵AE=BC，DF=BC，
∴AE=DF=BC=AD，
又∵∠ADF=90°，
∴四邊形AEFD是正方形．
BE=AB-AE=

1+ 5

2

BC-BC=

5 -1

2

BC，
∴

BE

BC

=

5 -1

2

，
∴矩形BCFE的寬與長的比是黃金分割比，矩形BCFE是黃金矩形．
∴黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構(gòu)成．

點評：此題考查了黃金分割比的意義．本題中將已知黃金矩形ABCD分割成一個以較短邊AD為邊的正方形和一個較小矩形是解決問題的關(guān)鍵．