Question

（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．

（1）如圖，當(dāng)點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，

①求證：△AEP∽△ABC

②設(shè)AP=x，求MP的長 （用含x的代數(shù)式表示）

（2）若△AME∽△ENB，求AP的長．

Answer 1

（1）①證明：在直角三角形APE和直角三角形ACB中，

,

又=

所以△AEP∽△ABC

②在直角三角形ACB中，由勾股定理得AC=

∴

在直角三角形APE中，

∴

設(shè)AP=x

則

在直角三角形EMP中，

即

∴

由勾股定理得

（2）①當(dāng)點E在AC上時，如圖2，

設(shè)EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴，

∴，

∴AP=16a，

∴AM=11a，

∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a，

∵△AME∽△ENB，

∴，

∴=，

∴a=，

∴AP=16×=22，

②當(dāng)點E在BC上時，如圖（備用圖），

設(shè)EP=12a，則EM=13a，MP=NP=5a，

∵△EBP∽△ABC，

∴=，

即=，

解得BP=9a，

∴BN=9a﹣5a=4a，AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a，

∵△AME∽△ENB，

∴，

即=，

解得a=，

∴AP=50﹣9a=50﹣9×=42．

所以AP的長為：22或42

【解析】

試題分析：（1）①在直角三角形APE和直角三角形ACB中， ,是公共角，由兩角分別相等的三角形相似可得△AEP∽△ABC

②本題先在直角三角形ACB由勾股定理求出AC=40，得出又在直角三角形APE中，因此設(shè)AP=x,則可表示出EP，再由可表示出ME，進(jìn)而由勾股定理表示出MP本題先根據(jù)EN=EM, ，設(shè)出EP的值，從而得出EM和PM的值

（2）本題需先設(shè)EP的值，得出則EM和MP的值，然后分①點E在AC上時，根據(jù)△AEP∽△ABC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據(jù)△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長；②點E在BC上時，根據(jù)△EBP∽△ABCC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據(jù)△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形