Question

15．如圖1是一個(gè)用鐵絲圍成的籃框，我們來仿制一個(gè)類似的柱體形籃框．如圖2，它是由一個(gè)半徑為r、圓心角90°的扇形A₂OB₂，矩形A₂C₂EO、B₂D₂EO，及若干個(gè)缺一邊的矩形狀框A₁C₁D₁B₁、A₂C₂D₂B₂、…、A_nB_nC_nD_n，OEFG圍成，其中A₁、G、B₁在$\widehat{{A}_{2}{B}_{2}}$上，A₂、A₃…、A_n與B₂、B₃、…B_n分別在半徑OA₂和OB₂上，C₂、C₃、…、C_n和D₂、D₃…D_n分別在EC₂和ED₂上，EF⊥C₂D₂于H₂，C₁D₁⊥EF于H₁，F(xiàn)H₁=H₁H₂=d，C₁D₁、C₂D₂、C₃D₃、C_nD_n依次等距離平行排放（最后一個(gè)矩形狀框的邊C_nD_n與點(diǎn)E間的距離應(yīng)不超過d），A₁C₁∥A₂C₂∥A₃C₃∥…∥A_nC_n
（1）求d的值；
（2）問：C_nD_n與點(diǎn)E間的距離能否等于d？如果能，求出這樣的n的值，如果不能，那么它們之間的距離是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)d=$\frac{1}{2}$FH₂，求出EH₂即可解決問題．
（2）假設(shè)C_nD_n與點(diǎn)E間的距離能等于d，列出關(guān)于n的方程求解，發(fā)現(xiàn)n沒有整數(shù)解，由$\frac{\sqrt{2}}{2}$r÷$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r=2+2$\sqrt{2}$≈4.8，求出n即可解決問題．

解答 解：（1）在Rt△D₂EC₂中，∵∠D₂EC₂=90°，EC₂=ED₂=r，EF⊥C₂D₂，
∴EH₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，F(xiàn)H₂=r-$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴d=$\frac{1}{2}$（r-$\frac{\sqrt{2}}{2}$r）=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r，
（2）假設(shè)C_nD_n與點(diǎn)E間的距離能等于d，由題意$\frac{1}{n-1}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r，
這個(gè)方程n沒有整數(shù)解，
所以假設(shè)不成立．
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$r÷$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r=2+2$\sqrt{2}$≈4.8，
∴直角三角形△C₂ED₂最多分成5份，
∴n=6，此時(shí)C_nD_n與點(diǎn)E間的距離=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r-4×$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$r=$\frac{3\sqrt{2}-4}{2}$r．

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用方程去思考，發(fā)現(xiàn)n=6是解題的關(guān)鍵．