Question

【題目】如圖①，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)O，以O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙O．

（1）求證：⊙O與AC相切．

（2）若AB=6，AC=10．

①求⊙O的半徑；

②如圖②，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長(zhǎng)線于E、F，試求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以證明本結(jié)論成立；

（2）①根據(jù)切線的性質(zhì)可知AB=AM，根據(jù)勾股定理可以求得BC的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求得圓的半徑的長(zhǎng)；

②根據(jù)題意可以求得AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形相似可以求得DF的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)可以求得EF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵∠ABC=90°，∠CAB的平分線是AO，

∴點(diǎn)O到AB和到AC的距離相等，

∴點(diǎn)O到AC的距離等于圓O的半徑，

∴⊙O與AC相切；

（2）①作OM⊥AC于點(diǎn)M，如圖所示，

∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，

∴BC=8，AB=AM=6，

∴MC=4，OC=8-OB，

設(shè)圓O的半徑是r，

∴r2+42=（8-r）2

解得，r=3，

即⊙O的半徑是3；

②∵AB=6，BO=3，∠ABO=90°，

∴AO=3，

∴AD=3+3，

∵AD⊥EF，

∴∠ADF=90°，

∴∠ADF=∠ABO=90°，

∵∠DAF=∠BAO，

∴△DAF∽△BAO，

∴，

即，

解得，DF=，

∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，

∴EF=2DF=3+3．