Question

如圖1，P（m，n）是拋物線y=

x2

4

-1上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)（0，-2）且與x軸平行的直線，過(guò)點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．
【探究】
（1）填空：當(dāng)m=0時(shí)，OP=

 

，PH=

 

；當(dāng)m=4時(shí)，OP=

 

，PH=

 

；
【證明】
（2）對(duì)任意m，n，猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
【應(yīng)用】
（3）如圖2，已知線段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線y=

x2

4

-1上滑動(dòng)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,兩點(diǎn)間的距離,點(diǎn)到直線的距離,勾股定理

專題：代數(shù)幾何綜合題,探究型

分析：（1）m記為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)．m=0時(shí)，直接代入x=0，得P（0，-1），則OP，PH長(zhǎng)易知．當(dāng)m=4時(shí)，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=y_P-（-2）．
（2）猜想OP=PH．證明時(shí)因?yàn)镻為所有滿足二次函數(shù)y=

x2

4

-1的點(diǎn)，一般可設(shè)（m，

m2

4

-1）．類似（1）利用勾股定理和PH=y_P-（-2）可求出OP與PH，比較即得結(jié)論．
（3）考慮（2）結(jié)論，即函數(shù)y=

x2

4

-1的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于其到l的距離．要求A、B兩點(diǎn)到l距離的和，即A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的和，若AB不過(guò)點(diǎn)O，則OA+OB＞AB=6，若AB過(guò)點(diǎn)O，則OA+OB=AB=6，所以O(shè)A+OB≥6，即A、B兩點(diǎn)到l距離的和≥6，進(jìn)而最小值即為6．

解答：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．
如圖1，記PH與x軸交點(diǎn)為Q，

當(dāng)m=0時(shí)，P（0，-1）．此時(shí)OP=1，PH=1．
當(dāng)m=4時(shí)，P（4，3）．此時(shí)PQ=3，OQ=4，
∴OP=

PQ2+OQ2

=5，PH=y_P-（-2）=3-（-2）=5．

（2）猜想：OP=PH．
證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，
∵P在二次函數(shù)y=

x2

4

-1上，
∴設(shè)P（m，

m2

4

-1），則PQ=|

m2

4

-1|，OQ=|m|，
∵△OPQ為直角三角形，
∴OP=

PQ2+OQ2

=

( m2 4 -1)2+m2

=

( m2 4 )2+ m2 2 +1

=

( m2 4 +1)2

=

m2

4

+1，
  PH=y_P-（-2）=（

m2

4

-1）-（-2）=

m2

4

+1，
∴OP=PH．

（3）解：如圖2，連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥l于C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l于D，此時(shí)AC即為A點(diǎn)到l的距離，BD即為B點(diǎn)到l的距離．

①當(dāng)AB不過(guò)O點(diǎn)時(shí)，連接OA，OB，
在△OAB中，OA+OB＞AB=6，
由上述結(jié)論得：AC=OA，BD=OB，
∴AC+BD＞6；
②當(dāng)AB過(guò)O點(diǎn)時(shí)，AC+BD=OA+OB=AB=6，
所以AC+BD的最小值為6，
即A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)與其圖象的理解，另外涉及一些點(diǎn)到直線距離，利用勾股定理就坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離及最短距離等知識(shí)點(diǎn)，總體來(lái)說(shuō)難度不高，但知識(shí)新穎易引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，非常值得學(xué)生練習(xí)．