Question

已知：點P是正方形ABCD內的一點，連接PA、PB、PC．
（1）如圖1．若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長．
（2）如圖2，若PA²+PC²=2PB²，試說明點P必在對角線AC上．

Answer 1

解：（1）如圖1，將△APB繞點B旋轉至△CBP′，則△APB≌△CBP′，
∴P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，
∴△BPP′是等腰直角三角形，PP′=4，∠PP′B=45°，∠PP′C=90°，
∴PC==6；

（2）如圖2，將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，連接PP′．
同（1），可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C=90°，
∴∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．
分析：（1）如圖1，將△APB繞點B旋轉至△CBP′，則由旋轉的性質得到P′C=PA=2，∠BP′C=∠BPA=135°，∠3=∠1，BP′=BP=4，易證△BPP′是等腰直角三角形，所以
PC==6；
（2）如圖2，將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股定理得∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即得點P必在對角線AC上．
點評：本題是一道綜合性很強的題，考查了旋轉的性質、正方形的性質以及勾股定理等相關知識，難度較大．