Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC 的頂點坐標分別為A（-2，0）、B（4，0）、C（0，2）．
（1）請用尺規(guī)作出△ABC的外接圓⊙P（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求出（1）中外接圓圓心P的坐標；
（3）⊙P上是否存在一點Q，使得△QBC與△AOC相似？如果存在，請直接寫出點Q坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）作出AC與BC線段垂直平分線得出交點即為圓心，進而利用圓心到線段端點距離長為半徑求出即可；
（2）過點P做PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，連接PC、PE，在Rt△BPD中，BP²=x²+3²，在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²，由BP=CP，求出x的值，即可得出P點坐標；
（3）利用相似三角形的判定得出△Q₁BC∽△ACO，進而結合圓周角定理得出Q點坐標．

解答：解：（1）如圖1所示：

（2）如圖2，過點P做PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，連接PC、PE．
∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．
∵OB=4，∴OD=OB-BD=1．
∴PE=OD=1．
設DP=x，則OE=PD=x．
在Rt△BPD中，BP²=x²+3²．
在Rt△CEP中，CP²=（x+2）²+1²．
∵BP=CP，
∴x²+3²=（x+2）²+1²．
解得：x=1．
∴點P坐標為（1，-1）．  

（3）如圖2，連接BP并延長到⊙P于一點Q₁，連接CQ₁，
則BQ₁是直徑，
∴∠Q₁CB=90°，
又∵∠CAB=∠CQ₁B，
∴△Q₁BC∽△ACO，
此時連接AQ₁則∠Q₁AB=90°，
∴Q₁橫坐標為：-2，
∵AB=6，BQ₁=2BP=2

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，
∴AQ₁=2，
∴Q₁（-2，-2），
同理構造直角三角形CFQ₂，
可得出：CF=6，CQ₂=2

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，
∴FQ₂=2，FO=4，
則Q₂（2，-4），
綜上所述：⊙P上存在一點Q（-2，-2），（2，-4），使得△QBC與△AOC相似．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及三角形外接圓作法和勾股定理等知識，利用圓周角定理以及分類討論得出Q點坐標是解題關鍵．