Question

如圖，線(xiàn)段AB是⊙O的直徑，⊙O交線(xiàn)段BC于D，且D是BC中點(diǎn)，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①CE•CA=CD•CB；②∠EDA=∠B；③OA=

1

2

AC；④DE是⊙O的切線(xiàn)；⑤AD²=AE•AB．

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

分析：由DE與AC垂直，得到三角形CDE為直角三角形，而由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°，得到AD與BC垂直，又D為BC中點(diǎn)，進(jìn)而得到AD垂直平分BC，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到AC與AB相等，故三角形ABC不是直角三角形，所以三角形CDE與ABC不相似，CE•CA與CD•CB不相等，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；由O為AB中點(diǎn)，得到AO為AB的一半，故AO為AC的一半，選項(xiàng)③正確；由OD為三角形ABC的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得到OD與AC平行，由AC與DE垂直得到OD與DE垂直，即∠ODE為90°，故DE為圓O的切線(xiàn)，選項(xiàng)④正確；由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等得到三角形ADE與三角形ACD相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得到選項(xiàng)⑤正確，從而得到所有正確選項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答：解：顯然，△CED為直角三角形，而△ABC不是直角三角形，故兩三角形不相似，
所以CE•CA≠CD•CB，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
連接OD，∵D為BC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，
∴DO為△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE為圓O的切線(xiàn)，選項(xiàng)④正確；
又OB=OD，∴∠ODB=∠B，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADO=90°，∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠EDA=∠BDO，
∴∠EDA=∠B，選項(xiàng)②正確；
由D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，又OA=

1

2

AB，
∴OA=

1

2

AC，選項(xiàng)③正確；
∵∠DAC=∠EAD，∠DEA=∠CDA=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴

AD

AC

=

AE

AD

，即AD²=AE•AB，選項(xiàng)⑤正確；
則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，及三角形的中位線(xiàn)定理．證明切線(xiàn)時(shí)連接OD是解這類(lèi)題經(jīng)常連接的輔助線(xiàn)．