Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD=BC，且∠CBD=60°．
（1）如圖1，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）求證：AD是BC的垂直平分線；
（3）如圖2，以AB為一邊作等邊三角形ABE，連接CE，DE，試探究AD、BD、DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）求出∠ABC的度數(shù)，即可求出答案；
（2）由BD=BC，且∠CBD=60°求得△BCD為等邊三角形，然后求得△ABD≌△ACD，從而求得∠BAD=∠CAD，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可求得．
（3））由△ABE是等邊三角形，△BCD為等邊三角形，可求得∠ABD=∠EBC，然后通過三角形全等，求得∠BAD=∠BEC，AD=CE，根據(jù)∠ABD=∠EBC=30°-

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2

α，∠BAD=∠BEC=

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2

α，求得∠BCE=150°，由于△BCD為等邊三角形，從而△BCD是直角三角形，即可求得AD、BD、DE之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：
解：（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=

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（180°-∠A）=90°-

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α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-

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α；

（2）證明：如圖1，連接AD，CD，
∵BD=BC，且∠CBD=60°．
∴△BCD為等邊三角形，
在△ABD與△ACD中

AB=AC AD=AD BD=CD

∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分線；

（3）如圖2，連接AD、DC、DE，
∵△ABE是等邊三角形，△BCD為等邊三角形，
∴∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD與△EBC中

AB=BE ∠ABD=∠EBC BD=BC

∴△ABD≌△EBC（SAS）
∴∠BAD=∠BEC，AD=CE，
∴∠ABD=∠EBC=30°-

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α，∠BAD=∠BEC=

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α，
∴∠BCE=180°-∠EBC-∠BEC=180°-（30°-

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α）-

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α=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∴△DCE是直角三角形，
∴CD²+CE²=DE²，
∵BD=CD，AD=CE，
∴DB²+AD²=DE²．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．