Question

如圖，在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=10，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB上的動點(diǎn)，以DE為直徑作⊙O．
（1）如圖1，如果DE為△ABC的中位線，試判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）在BC與⊙O相切的條件下，
①如圖2，如果點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，試求⊙O的半徑；
②如圖3，如果DE∥BC，試求⊙O的半徑；
③求⊙O的半徑的最小值（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．利用兩平行線間的距離的定義知EF即DE與BC間的距離，由三角形中位線定理求得⊙O的半徑，然后通過比較EF與⊙O的半徑的大小關(guān)系即可確定直線與圓的位置關(guān)系；
（2）①設(shè)⊙O半徑為r₁．根據(jù)相似三角形Rt△COF∽Rt△CBA的對應(yīng)邊成比例列出比例式

OF

AB

=

OC

BC

，即

r1

6

=

8-r1

10

，易求r₁=3；
②作直角三角形ABC斜邊上的高線AH．利用相似三角形△AED∽△ABC的對應(yīng)高線之比等于相似比的性質(zhì)列出比例式

AG

AH

=

DE

BC

，即

AH-r2

AH

=

2r2

BC

，易求r₂=

120

49

；
③當(dāng)AF⊥BC，即A、O、F三點(diǎn)共線時，⊙O的半徑最�。�

解答：解：（1）⊙O與BC相交．理由如下：
如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC=5，BE=

1

2

AB=3，
∴⊙O的半徑為

5

2

，DE與BC間的距離就是EF的長度．
∵sin∠B=

EF

BE

=

AC

BC

，即

EF

3

=

8

10

，
∴EF=

12

5

．
∵

5

2

＞

12

5

，
∴⊙O與BC相交；

（2）①設(shè)⊙O半徑為r₁．
∵⊙O與BC相切，
∴OF⊥BC．
∵Rt△COF∽Rt△CBA，
∴

OF

AB

=

OC

BC

，即

r1

6

=

8-r1

10

，
∴r₁=3，即⊙O半徑為3；
②設(shè)⊙O半徑為r₂．
∵BC與⊙O相切，
∴OF⊥BC．　
過點(diǎn)A作AH⊥BC交DE于G，交BC于點(diǎn)H．則GH=OF=r₂．
∵

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AH，即6×8=10×AH，
∴AH=

24

5

．
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

AG

AH

=

DE

BC

，即

AH-r2

AH

=

2r2

BC

，
∴

24 5 -r2

24 5

=

2r2

10

，
解得．r₂=

120

49

，即⊙O半徑為

120

49

；
③連接OA．要使得⊙O半徑最小，則要OA+OF最小，此時，A，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線且A，O，F(xiàn)所在直線垂直于BC．即AO+OF=

24

5

，
所以，⊙O半徑最小為：

1

2

（AO+OF）=

12

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題．注意：勾股定理的逆定理、直角三角形的面積、解直角三角形、切線的性質(zhì)以及“相似三角形的對應(yīng)邊成比例，相似三角形的對應(yīng)邊上高線之比等于相似比”等相似三角形的性質(zhì)，在本題的解答過程中的綜合運(yùn)用．