Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設(shè)它們運動的時間為x（s）．
（1）求x為何值時，PQ⊥AC；
（2）當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；
（3）①設(shè)△PQD的面積為y（cm²），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，及自變量x的取值范圍．
②△PQD的面積是否有最大值？若有，請求出這個最大值，及此時x的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；
（3）①根據(jù)CQ=2t，∠C=60°，得出QE=CQ•sin60°=

3

x，進而求出面積即可，②利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PQD面積的最大值．

解答：（1）解：當Q在AC上時，由題意得，BP=t，CQ=2t，PC=4-t；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-t=2×2t，
∴t=

4

5

；
當Q在AB上時，由題意得，BP=t，AQ=2t-4，則BQ=4-（2t-4）=8-2t，
∵AB=BC=CA=4，∴∠B=60°；
若PQ⊥AB，則有∠QPB=30°，
∴PB=2BQ，
∴t=2（8-2t），
解得：t=

16

5

（滿足條件2≤t≤4），
即當t=

16

5

時，PQ⊥AB；
（2）證明：作QE⊥DC于E，
當0＜t＜2時，點P在BD上，在△QPC中，QC=2t，∠C=60°；
∵QE⊥DC，
∴EC=

1

2

QC=t，
∴BP=EC，
∵BD=CD．
∴DP=DE；
∵AD⊥BC，QE⊥BC，
∴∠ADC=∠QEC，
∴AD∥QE，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面積；
（3）①解：∵當0＜t＜2時，
CQ=2t，∠C=60°，
∴QE=CQ•sin60°=

3

t，
PD=2-t，
∴△PQD的面積為：y=

1

2

×PD×EQ=

1

2

（2-t）•

3

t=-

3

2

t²+

3

t=-

3

2

（t-1）²+

3

2

，
②△PQD的面積有最大值，
理由如下：由①可知y=

1

2

×PD×EQ=

1

2

（2-t）•

3

t=-

3

2

t²+

3

t=-

3

2

（t-1）²+

3

2

，
∴當t=1時，△PQD面積有最大值為：

3

2

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積求法，綜合運用了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用動點的時間x和速度表示線段的長度，本題有一定的綜合性，難度中等．