Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA，sinB是方程x²-x-k=0的兩根．求∠A和∠B的度數(shù)及k的值．

Answer 1

解：∵sinA和sinB是方程x2-x-k=0的兩個根，
∴sinA+sinB=，sinA•sinB=-k，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sin²A+sin²B=1，
∴2+2k=1，
解得k=-．
故原方程可以變?yōu)椋簒2-x+=0，
解得sinA=sinB=，
故∠A=∠B=45°．
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系式，得sin²A+sin²B=1；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=-k，再進一步利用完全平方公式得到關(guān)于k的方程進行求解．
點評：此題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及銳角三角函數(shù)關(guān)系式．解題的關(guān)鍵是牢記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．