Question

4．如圖1，二次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3的圖象與x軸的分別交A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，AC．
（1）求線段AB的長(zhǎng)，∠ABC的正切值；
（2）若點(diǎn)Q是該二次函數(shù)圖象位于線段AC右上方部分的一點(diǎn)，且△QAC的面積為△AOC面積的$\frac{3}{4}$，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖2，D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC所在直線于點(diǎn)F，取AD的中點(diǎn)F，連接PE、PF
     ①請(qǐng)問點(diǎn)D在線段BC上的運(yùn)動(dòng)過程中，∠EPF的大小是否改變？說明理由；
     ②連接EF，求△PEF周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）解方程-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3=0，可得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理，解△ABC可得∠ABC的正切值；
（2）結(jié)合△QAC的面積為△AOC面積的$\frac{3}{4}$，可得Q點(diǎn)距AC為$\frac{9}{5}$，代入點(diǎn)到直線距離公式，可得答案；
（3）①根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理，結(jié)合圓周角定理，可得∠EPF的大小不會(huì)改變；
②連接EF，△PEF周長(zhǎng)為PE+PF+EF=AD+EF，利用余弦定理，得到△PEF周長(zhǎng)為$\frac{8}{5}$AD，進(jìn)而得到當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△PEF周長(zhǎng)取最小值．

解答 解：（1）解0=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3得：x=-1，或x=4，
故A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（4，0），
故AB=5，
令x=0，則y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3=3，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
則AC=5，BC=$\sqrt{10}$，
故△ABC中BC邊上的高為$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
故tan∠ABC=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=3；
（2）∵點(diǎn)Q是該二次函數(shù)圖象位于線段AC右上方部分的一點(diǎn)，
故點(diǎn)Q橫坐標(biāo)x₀∈（0，4），
∵△AOC面積S=$\frac{1}{2}$×4×3=6，△QAC的面積為△AOC面積的$\frac{3}{4}$，
故△QAC的面積為$\frac{9}{2}$，
由AC=5，故Q點(diǎn)距AC為$\frac{9}{5}$，
由Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，-$\frac{3}{4}$x₀²+$\frac{9}{4}$x₀+3），AC的方程為：3x+4y-12=0，
故$\frac{9}{5}$=$\frac{|3{x}_{0}+4（-\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}+\frac{9}{4}{x}_{0}+3）-12|}{5}$，
解得x₀=1，或x₀=3，或x₀=2-$\sqrt{7}$（舍去），或x₀=2+$\sqrt{7}$（舍去），
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$）或（3，3）；
（3）①∠EPF的大小不會(huì)改變，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，P為AD的中點(diǎn)，
∴A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)均在以P為圓心，以AD為直徑的圓上，
∵∠EPF=2∠EAF，
故∠EPF的大小不會(huì)改變；
②連接EF，△PEF周長(zhǎng)為PE+PF+EF=AD+EF，
∵tan∠ABC=3，
∴tan∠BAC=$\frac{2×\frac{1}{3}}{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴cos∠EPF=$\frac{1-（\frac{3}{4}）^{2}}{1+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{7}{25}$，
∴EF=$\sqrt{P{E}^{2}+P{F}^{2}-2PE•PFcos∠EPF}$=$\frac{6}{5}$PE=$\frac{3}{5}$AD，
故△PEF周長(zhǎng)$\frac{8}{5}$AD，
當(dāng)AD⊥BC，即AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$時(shí)，△PEF周長(zhǎng)取最小值$\frac{12\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．