Question

（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，連接EF，
則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+FD．連結(jié)BD，交AE、AF于點(diǎn)M、N，且MN、BM、DN滿足MN²=BM²+DN²，請證明這個等量關(guān)系；
（2）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn)．
①如圖2，當(dāng)∠BAC=60°，∠DAE=30°時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是

 

；
②如圖3，當(dāng)∠BAC=α，（0°＜α＜90°），∠DAE=

1

2

α時，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是

 

．[參考：sin²α+cos²α=1】

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，把△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM'，連接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM=∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N，由勾股定理就可以得出結(jié)論MN²=DN²+BM²；
（2）①如圖2，把△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，連接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G，由三角函數(shù)值就可以得出CG=

1

2

CF，GF=

3

2

CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結(jié)論；
②如圖3，把△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到△ACF，連接EF．就可以得出△ABD≌△ACF，就有∠BAD=∠CAF，∠B=∠ACF，就可以得到∠DAE=∠FAE，得出△ADE≌△AFE，就有DE=FE，在△EFC中，作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G，由三角函數(shù)值就可以得出CG=cosa•CF，GF=sina•CF，在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出結(jié)論；

解答：解：（1）如圖1，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABM=∠ADN=45°．
把△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM'．連結(jié)NM'．
∴△ABM≌△ADM′，
∴DM'=BM，AM'=AM，∠ADM'=∠ABM=45°，∠DAM'=∠BAM．
∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°，
即∠NDM′=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠DAM′+∠DAF=45°，
即∠M′AN=45°，
∴∠M'AN=∠MAN．
在△AMN和△AM′N中

AM=AM′ ∠MAN=∠M′AN AN=AN

，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴M'N=MN．
∵∠NDM′=90°，
∴M'N²=DN²+DM'²，
∴MN²=DN²+BM²；
（2）①BD、DE、EC關(guān)系式為：DE²=BD²+BD•EC+EC²．
理由：如圖2，把△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，連接EF，作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∴∠ACF=60°，
∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°，
即∠ECF=120°，
∴∠FCG=60°，
∴∠CFG=30°，
∴CG=

1

2

CF，
在Rt△CFG中，由勾股定理，得
FG=

3

2

CF．
∵∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠CAF+∠EAC=30°，
即∠EAF=30°．
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中

AD=AE ∠DAE=∠FAE ∠AE=AE

，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF²=EG²+FG²，
∴EF²=（EC+CG）²+（

3

2

CF）²，
∴EF²=（EC+

1

2

CF）²+

3

4

CF²，
=EC²+EC•CF+

1

4

CF²+

3

4

CF²，
=CE²+EC•CF+CF²，
∴DE²=CE²+EC•BD+BD²．
故答案為：DE²=CE²+EC•BD+BD²；
②BD、DE、EC等量關(guān)系是：DE²=BD²+2cosα•BD•EC+EC²．
理由：把△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到△ACF，連接EF．作FG⊥EC的延長線于點(diǎn)G．
∴△ABD≌△ACF，∠FGC=90°
∴AD=AF，BD=CF，∠BAD=∠CAF，∠B=ACF．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°，
∴∠BAC=∠FCG=α
∴∠ACF=60°，
∴CG=cosα•CF，F(xiàn)G=sinα•CF．
∵∠DAE=

1

2

α，
∴∠BAD+∠CAE=

1

2

α．
∴∠CAF+∠CAE=

1

2

α，
即∠EAF=

1

2

α，
∴∠DAE=∠FAE．
在△ADE和△AFE中

AD=AE ∠DAE=∠FAE ∠AE=AE

，
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∴DE=EF．
在Rt△EGF中，由勾股定理，得
EF²=EG²+FG²，
EF²=（EC+CG）²+（sinα•CF）²，
∴EF²=（CE+cosα•CF）²+sin²α•CF²，
=CE²+2CE•CF•cosα+cos²α•CF²+sin²α•CF²，
=CE²+2CE•CF•cosα+（cos²α+sin²α）CF²．
∵sin²α+cos²α=1，
∴DE²=BD²+2cosα•BD•EC+EC²．
故答案為：DE²=BD²+2cosα•BD•EC+EC²．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時證明三角形全等和靈活運(yùn)用三角函數(shù)值是關(guān)鍵．