Question

【題目】已知：如圖，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC與CD共線，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM，交AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MD，交CE于點(diǎn)H

（1）求證：MB=MD；

（2）當(dāng)AB=BC，DC=DE時(shí)，求證：四邊形MGCH為矩形．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于N，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥DN得到=，加上AM=ME，則BM=MN，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到MB=MD；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥NE得到==1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，則△BDN為等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接著由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，則可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判斷四邊形MGCH為平行四邊形，加上∠GMH=90°，則可判斷四邊形MGCH為矩形．

證明：（1）延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于N，如圖，

∵∠ABC=∠CDE=90°，

∴AB∥DN，

∴=，

而點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，

∴AM=ME，

∴BM=MN，

∴DM為Rt△BDN的斜邊上的中線，

∴MB=MD；

（2）∵AB∥NE，

∴==1，即AB=NE，

∵AB=BC，DC=DE，

∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，

∴△BDN為等腰直角三角形，

∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，

∵AB=BC，DC=DE，

∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，

∴∠CED=∠ACB=∠45°，

∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，

∴CE∥BN，AC∥DM，

∴四邊形MGCH為平行四邊形，

而∠GMH=90°，

∴四邊形MGCH為矩形．