Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，OD=t，點(diǎn)E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足為F．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求線段EF、OF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)△ECA為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

（1）二次函數(shù)的解析式為：y=﹣2x²+6x+8 （2）EF=t、OF=t﹣2 （3）

解析試題分析：（1）二次函數(shù)y=ax²+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=﹣2x²+6x+8
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO 
∴．
∵，
∴=，
∴，∴EF=t．
同理，
∴DF=2，∴OF=t﹣2．
（3）∵拋物線的解析式為：y=﹣2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如圖，過E點(diǎn)作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則在Rt△AEM中，

∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，
當(dāng)∠CEA=90°時(shí)，CE²+ AE²= AC²

  
當(dāng)∠ECA=90°時(shí)，
CE²+ AC²= AE²

即點(diǎn)D與點(diǎn)C重合.  
考點(diǎn)：二次函數(shù)，相似三角形，勾股定理
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)，相似三角形，勾股定理，解答本題需要考生掌握二次函數(shù)，會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟悉相似三角形的判定方法，會(huì)判定兩個(gè)三角形相似，掌握勾股定理的內(nèi)容并能運(yùn)用