Question

某公司研制出一種新穎的家用小電器，每件的生產(chǎn)成本為18元，經(jīng)市場調(diào)研表明，按定價(jià)40元出售，每月可銷售20萬件．為了增加銷量，每降價(jià)1元，月銷售量可增加2萬件．
（1）求出月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出月銷售利潤z（萬元）（利潤=售價(jià)-成本價(jià)）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）為使月銷售利潤最大，銷售單價(jià)應(yīng)是多少元？
（4）利用（2）中所求函數(shù)的大致圖象，求出使月銷售利潤不低于440萬元時(shí)銷售單價(jià)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意，得月銷售量y=20+2（40-x）=-2x+100；

（2）依題意，得z=xy-18y=（x-18）（-2x+100）=-2x²+136x-1800；

（3）∵z=-2x²+136x-1800=-2（x-34）²+512，且-2＜0，
∴當(dāng)x=34時(shí)，z最大，即銷售單價(jià)為34元時(shí)，月銷售利潤最大；

（4）依題意，得18≤x≤40，當(dāng)z=440萬元時(shí)，即
-2（x-34）²+512=440，
解得x=28或40，
∴月銷售利潤不低于440萬元時(shí)銷售單價(jià)的取值范圍是28≤x≤40．
分析：（1）根據(jù)月銷售量y=原來銷售量+2（40-x），列出函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)月銷售利潤z=售價(jià)-成本價(jià)=xy-18y，列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大利潤及此時(shí)的銷售單價(jià)；
（4）根據(jù)自變量x的取值范圍，畫出圖象，由（2）的函數(shù)關(guān)系式求月銷售利潤不低于440萬元時(shí)銷售單價(jià)的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中涉及的變量，列出等量關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．