Question

(2006，沈陽)如圖(1)，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：

①AF=DE；②AF⊥DE．(不需要證明)

(1)如圖(2)，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF．則上面的結(jié)論①，②是否仍然成立？(請直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如圖(3)，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

(3)如圖(4)，在(2)的基礎(chǔ)上，連結(jié)AE和EF，若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)成立． (2)成立． 證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=DC， 又∵CE=DF，∴△ADF≌△DCE， ∴∠F=∠E，AF=DE． ∵∠E＋∠CDE=90°，∴∠F＋∠CDE=90°， ∴∠FGD=90°，∴AF⊥DE． (3)正方形． 證明：∵AM=ME，AQ=DQ， ∴MO∥ED，， 同理NP∥ED，， ∴， ∴四邊形MNPQ是平行四邊形． ∵ME=MA，NE=NF，∴MN∥AF，， 又∵AF=ED，∴MQ=MN， ∴平等四邊形MNPQ是菱形． ∵AF⊥ED，MQ∥ED，∴AF⊥MQ， 又∵MN∥AF，∴MN⊥MQ， ∴∠QMN=90°，∴菱形MNPQ是正方形．