Question

14．如圖所示，△ABC和△CDE是等邊三角形，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，N是BE的中點(diǎn)．試說明：△CMN是等邊三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AM=BN；又△AMC≌△BNC，可得CM=CN，∠ACM=∠BCN，證明∠NCM=∠ACB=60°即可證明△CMN是等邊三角形．

解答 證明：∵△ABC是等邊三角形，△CDE是等邊三角形，M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BE的中點(diǎn)，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，AM=BN；
∴AC=BC，∠CAD=∠CBE，
在△AMC和△BNC中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BN}\\{∠MAC=∠NBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△AMC≌△BNC（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN；
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM，
∠ACB=∠ACM-∠BCM，
∴∠NCM=∠ACB=60°，
∴△CMN是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度一般，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．