Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是

BD

上一點(diǎn)，∠DAC=∠AED．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)E是

BD

的中點(diǎn)，連結(jié)AE交BC于點(diǎn)F，當(dāng)BD=5，CD=4時(shí)，求DF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）欲證明AC是⊙O的切線，只需證得AB⊥AC即可；
（2）通過(guò)相似三角形（△ADC∽△BAC）的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AC=6．由圓周角、弧、弦間的關(guān)鍵推知CA=CF=6，故DF=CA-CD=2．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED=∠CAD，∠C=∠C，∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
即AB⊥AC于點(diǎn)A．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴AC是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴

AC

BC

=

CD

AC

．即AC²=BC×CD=36．
解得 AC=6．
∵點(diǎn)E是

BD

的中點(diǎn)，
∴∠DAE=∠BAE．
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．