Question

17．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B、C重合），且DA=DE，則AD的取值范圍是（　　）

• A． 0＜AD＜3
• B． 1≤AD＜$\frac{5}{2}$
• C． $\frac{15}{7}$≤AD＜$\frac{5}{2}$
• D． $\frac{15}{8}$≤AD＜$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 首先由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的長，然后根據(jù)題意畫出圖形，分別從當⊙D與BC相切時與當⊙D與BC相交時，去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
以D為圓心，AD的長為半徑畫⊙D，
①如圖1，當⊙D與BC相切時，DE⊥BC時，
設AD=x，則DE=AD=x，BD=AB-AD=5-x，
∵∠BED=∠C=90°，∠B是公共角，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
即$\frac{5-x}{5}=\frac{x}{3}$，
解得：x=$\frac{15}{8}$；
②如圖2，當⊙D與BC相交時，若交點為B或C，則AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴AD的取值范圍是$\frac{15}{8}$≤AD＜$\frac{5}{2}$．
故選D．

點評 此題考查了點與圓的位置關系、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形求解是關鍵．