Question

19．如圖所示，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的對(duì)稱軸是直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）．有下列結(jié)論：①ac＞0；②b²-4ac＞0；③a+c＜2-b；④a＜-$\frac{1}{4}$；⑤x=-5和x=7時(shí)函數(shù)值相等．其中錯(cuò)誤的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得c＞0，所以ac＜0；由于拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以b²-4ac＞0；根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，則x=1時(shí)，y最大，所以a+b+c＞2，即a+c＞2-b；由于x=-2時(shí)，y＜0，所以4a-2b+c＜0，由于-$\frac{2a}$=1，c=2，則4a+4a+2＜0，所以a＜-$\frac{1}{4}$；由于拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到x=-5和x=7時(shí)函數(shù)值相等．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴x=1時(shí)，y最大，即a+b+c＞2，
∴a+c＞2-b，所以③錯(cuò)誤；
∵x=-2時(shí)，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，
而-$\frac{2a}$=1，c=2，
∴4a+4a+2＜0，
∴a＜-$\frac{1}{4}$，所以④正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴x=-5和x=7時(shí)函數(shù)值相等，所以⑤正確．
所以①③兩個(gè)，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．