Question

8．如圖1，已知拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與x軸交于A，B，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，已知B（3，0），EO=BO，連接EB．
（1）求拋物線解析式和直線EB的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)F為拋物線在直線EB下方部分上的一動點(diǎn)，求當(dāng)△EFB面積最大時，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時△EFB的面積．
（3）如圖2，過點(diǎn)E作直線EG∥x軸交拋物線于點(diǎn)G，連接AG，AC，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠BAP=∠GAC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只需先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）過點(diǎn)F作PN⊥x軸于N，交EB于M，如圖1，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，就可用含m的代數(shù)式表示出FM的長，進(jìn)而表示出△EFB的面積，然后運(yùn)用二次函數(shù)的最值性就可解決問題；
（3）可先求出點(diǎn)C、G的坐標(biāo)，然后求出AG、GC、AC，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到∠AGC=90°，然后運(yùn)用三角函數(shù)的定義求出tan∠GAC，由∠BAP=∠GAC可得到tan∠BAP．設(shè)直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q，在Rt△AOQ中運(yùn)用三角函數(shù)可求出OQ，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OQ的解析式，然后通過解方程組，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵B（3，0），EO=BO，
∴EO=BO=3，E（0，-3）．
∵點(diǎn)B、E在拋物線y=ax²-2ax+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
設(shè)直線EB的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線EB的解析式為y=x-3；

（2）過點(diǎn)F作PN⊥x軸于N，交EB于M，如圖1，

設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，則有
y_F=m²-2m-3，y_M=m-3，
∴MF=（m-3）-（m²-2m-3）=-m²+3m，
∴S_△EFB=S_△EFM+S_△BFM
=$\frac{1}{2}$MF•ON+$\frac{1}{2}$MF•BN
=$\frac{1}{2}$OB•MF
=$\frac{1}{2}$×3×（-m²+3m）
=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S_△EFB取到最大值，最大值為$\frac{27}{8}$，
此時y_P=（$\frac{3}{2}$）²-2×$\frac{3}{2}$-3=-$\frac{15}{4}$，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；

（3）連接GC，
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
可得頂點(diǎn)C（1，-4），對稱軸為x=1．
當(dāng)y=0時，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
由EG∥x軸，E（0，-3），
可得E、G關(guān)于對稱軸x=1對稱，
則有G（2，-3）．
根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得
AG=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
GC=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AG²+GC²=AC²，
∴∠AGC=90°，
∴tan∠GAC=$\frac{GC}{AG}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
∵∠BAP=∠GAC，
∴tan∠BAP=$\frac{1}{3}$．
設(shè)直線AP與y軸交于點(diǎn)Q，
在Rt△AOQ中，tan∠BAP=$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OQ}{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴OQ=$\frac{1}{3}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{3}$）或（0，-$\frac{1}{3}$）．
①當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{3}$）時，如圖2①，

由A（-1，0）、Q（0，$\frac{1}{3}$）可得直線AP的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）．
②當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，-$\frac{1}{3}$）時，如圖2②，

由A（-1，0）、Q（0，-$\frac{1}{3}$）可得直線AP的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{8}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{11}{9}}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）或（$\frac{8}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的軸對稱性、最值性、運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、三角函數(shù)的定義、勾股定理的逆定理、解一元二次方程、求直線與拋物線的交點(diǎn)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識，綜合性比較強(qiáng)；在解決問題的過程中，用到了分類討論、待定系數(shù)法、配方法、割補(bǔ)法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)熟練掌握．