如圖,一個隧道的橫截面成拋物線形,它的底部寬12米、高6米.車輛在此隧道可以雙向通行,但規(guī)定車輛必須在隧道的中心線右側(cè)、距離路邊緣2米這一范圍內(nèi)行駛,并保持車輛頂部與隧道的空隙不少于
13
米.
(1)畫出以拋物線的頂點為原點的直角坐標系;
(2)在第(1)小題的基礎上,求該隧道橫截面的拋物線的函數(shù)關系式,并指出自變量x的取值范圍;
(3)你能否根據(jù)題中的要求,應用已有的二次函數(shù)知識,確定通過隧道車輛的高度不能超過多少米?
分析:(1)根據(jù)題意作出坐標系即可;
(2)設拋物線的函數(shù)關系式為y=ax2,找出函數(shù)圖象上的坐標,求出函數(shù)解析式即可;
(3)根據(jù)題意,求出當x=6-2時y的值,根據(jù)車輛頂部與隧道的空隙不少于
1
3
米可得出不等式,從而得出通過隧道車輛的高度的最大值.
解答:解:(1)畫出以拋物線的頂點O為原點的直角坐標系如圖示:

(2)可設拋物線的函數(shù)關系式為y=ax2 (a<0),
把點B(6,-6)坐標代入上式,得-6=a×62,
解得:a=-
1
6

故y=-
1
6
x2  (-6≤x≤6).
(3)如圖示,用線段EF表示通過隧道車輛的高度h米,延長FE交拋物線于點C,交x軸于點D,
根據(jù)題意,則CE=DF-EF-CD=6-h-|y|=6-h-
1
6
x2
1
3
,
整理得:h≤-
1
6
x2+
17
3
(-4≤x≤4,且 x≠0 ).
∵a=-
1
6
<0,
∴當0<x≤4時,二次函數(shù)h隨x的增大而減;
 當x=4時,函數(shù)h取得最小值,最小值為 h=-
1
6
×42+
17
3
=3,
∴h≤3.
所以,通過隧道車輛的高度不能超過3米.
點評:本題考查了二次函數(shù)的應用,涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得知識,解答本題的關鍵是建立直角坐標系,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,難度一般.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)高速公路的隧道和橋梁最多.如圖是一個隧道的橫截面,若它的形狀是以O為圓心的圓的一部分,路面AB=10米,凈高CD=7米,則此圓的半徑OA=( 。
A、5
B、7
C、
37
5
D、
37
7

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)高速公路的隧道和橋梁最多.如圖是一個隧道的橫截面,若它的形狀是以O為圓心的圓的一部分,路面AB=12米,凈高CD=9米,則此圓的半徑OA=( 。
A、
12
2
B、
13
2
C、
14
2
D、
15
2

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,一個隧道的橫截面成拋物線形,它的底部寬12米、高6米.車輛在此隧道可以雙向通行,但規(guī)定車輛必須在隧道的中心線右側(cè)、距離路邊緣2米這一范圍內(nèi)行駛,并保持車輛頂部與隧道的空隙不少于數(shù)學公式米.
(1)畫出以拋物線的頂點為原點的直角坐標系;
(2)在第(1)小題的基礎上,求該隧道橫截面的拋物線的函數(shù)關系式,并指出自變量x的取值范圍;
(3)你能否根據(jù)題中的要求,應用已有的二次函數(shù)知識,確定通過隧道車輛的高度不能超過多少米?

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科目:初中數(shù)學 來源:2013年海南省海口市中考數(shù)學模擬試卷(九)(解析版) 題型:解答題

如圖,一個隧道的橫截面成拋物線形,它的底部寬12米、高6米.車輛在此隧道可以雙向通行,但規(guī)定車輛必須在隧道的中心線右側(cè)、距離路邊緣2米這一范圍內(nèi)行駛,并保持車輛頂部與隧道的空隙不少于米.
(1)畫出以拋物線的頂點為原點的直角坐標系;
(2)在第(1)小題的基礎上,求該隧道橫截面的拋物線的函數(shù)關系式,并指出自變量x的取值范圍;
(3)你能否根據(jù)題中的要求,應用已有的二次函數(shù)知識,確定通過隧道車輛的高度不能超過多少米?

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