Question

【題目】已知一次函數(shù)y=x12的圖象分別交x軸，y軸于A，C兩點(diǎn)。

(1)求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在x軸上找出點(diǎn)B,使△ACB∽△AOC，若拋物線過A，B，C三點(diǎn)，求出此拋物線的解析式；

(3)在(2)的條件下，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿AC、BA向C，A運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在，求出所有m值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）A(16,0),C(0,12)；（2）；（3）

【解析】

（1）令直線的解析式y=0，可得A的坐標(biāo)，令x=0，可得C的坐標(biāo)

（2）要使△ACB∽△AOC，則B點(diǎn)必為過C點(diǎn)且垂直于AC的直線與x軸的交點(diǎn).那么根據(jù)射影定理不難得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式.

（3）本題可分兩種情況進(jìn)行求解：①當(dāng)PQ∥BC時(shí)，△APQ∽△ACB；②當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△APQ∽△ACB.可根據(jù)各自得出的不同的對應(yīng)成比例線段求出m的值.

(1)在一次函數(shù)y=x12中，當(dāng)x=0時(shí)，y=12；

當(dāng)y=0時(shí),x=16,即A(16,0),C(0,12)

(2)過C作CB⊥AC，交x軸于點(diǎn)B，顯然，點(diǎn)B為所求。

則OC2=OAOB,此時(shí)OB=9,可求得B(9,0)；

此時(shí)經(jīng)過A. B.C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x2+x12

(3)當(dāng)PQ∥BC時(shí),如圖(1),△APQ∽△ACB；則有：

=,即=，

解得m=.

當(dāng)PQ⊥AB時(shí),△APQ∽△ACB；有：

= ,即=，

解得m=.