Question

我們規(guī)定：形如y=

ax+k

x+b

(a、b、k為常數(shù)，且k≠ab)的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”．當(dāng)a=b=0時，“奇特函數(shù)”y=

ax+k

x+b

就是反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)．
（1）若矩形的兩邊長分別是2和3，當(dāng)這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這個函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”；
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3）．點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連結(jié)OB，CD交于點(diǎn)E，“奇特函數(shù)”y=

ax+k

x-6

的圖象經(jīng)過B，E兩點(diǎn)．
①求這個“奇特函數(shù)”的解析式；
②把反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象向右平移6個單位，再向上平移

 

個單位就可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象．過線段BE中點(diǎn)M的一條直線l與這個“奇特函數(shù)”的圖象交于P，Q兩點(diǎn)，若以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)矩形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)分式的加減，可得答案；
（2）①根據(jù)圖象的交點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得奇特函數(shù)解析式；
②根據(jù)圖象右移減，上移加，可得答案，根據(jù)P、Q在奇特函數(shù)圖象上，在直線上，再根據(jù)四邊形的面積為16，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得：（2+x）（3+y）=8，
∵x+2≠0，
∴3+y=

8

x+2

，
∴y=

8

x+2

-3=

-3x+2

x+2

，
根據(jù)新定義判斷得到y(tǒng)=

-3x+2

x+2

是“奇特函數(shù)”；
（2）①由題意得：B（9，3），E（3，1），
得到直線OB解析式為y=

1

3

x，直線CD解析式為y=-

2

3

x+3，
聯(lián)立得：

y= 1 3 x y=- 2 3 x+3

，
解得：

x=3 y=1

，即E（3，1），
將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)y=

ax+k

x-6

得：

3= 9a+k 9-6 1= 3a+k 3-6

，
整理得：

9a+k=9 3a+k=-3

，
解得：

a=2 k=-9

，
則“奇特函數(shù)”的解析式為y=

2x-9

x-6

；
②把反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象向右平移6個單位，再向上平移 2個單位就可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象，
P₁ （7，5），P2(15，

7

3

)，P₃ （-3，

5

3

），P₄（5，-1）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求解析式，圖象平移的規(guī)律．