Question

如圖，在正方形ABCD的邊BC上任取一點M，過點C作CN⊥DM交AB于N，設(shè)正方形對角線交點為O，試確定OM與ON之間的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠NCM+∠CMD=90°，
而∠CMD+∠CDM=90°，
∴∠NCM=∠CDM，
在△DCM和△CBN中，
∵，
∴△DCM≌△CBN（ASA），
∴CM=BN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OCM=∠OBN=45°，CO=BO，
在△OCM和△OBN中，
∵
∴△OCM≌△OBN（SAS）．
∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，
∴∠BON+∠MOB=90°．
∴∠MON=90°，即OM⊥ON．
∴OM與ON之間的關(guān)系是OM=ON且OM⊥ON．
分析：此題的結(jié)論是OM=ON；OM⊥ON．可以利用已知條件證明．DCM≌△CBN得CM=BN，再推出△OCM≌△OBN得OM=ON．
點評：此題把正方形和全等三角形的知識結(jié)合起來，主要利用正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定、性質(zhì)來解題．