Question

【題目】已知拋物線與軸的交點(diǎn)分別為（1，0）、（3，0），與軸的交點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)（4，）和（，）為拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)時，寫出的取值范圍；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn),使最大?若存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1），（2，－1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）把、坐標(biāo)代入得到方程組,解方程組即可；化成頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求出t值并求出當(dāng)y=t時另外一點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察圖象的升降趨勢即可求出當(dāng)時，的取值范圍；

（3）由拋物線的對稱性知，點(diǎn)B關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是A，于是問題就轉(zhuǎn)化成了“在拋物線的對稱軸上是找點(diǎn),使最大”，直線AD與對稱軸的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)M，據(jù)此求解即可.

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0）、（3，0），

∴，

解得，，

∴拋物線的解析式為，

∴

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，－1）

（2）當(dāng)x=4時，y=3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，3）

∴點(diǎn)P（4，3）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），

∴當(dāng)即n>3時，的取值范圍是或.

（3）由拋物線的對稱性知，其對稱軸是的垂直平分線，

∴，

∴

由三角形的三邊關(guān)系，得 ，

∴

∴當(dāng)點(diǎn)、、共線時，最大，為的長度

設(shè)直線的解析式為，則

解得，

∴直線的解析式為

由（1）得，拋物線的對稱軸是直線，

把x=2 代入中得y=-3，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴拋物線的對稱軸上存在點(diǎn),使最大