Question

【題目】已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B的坐標(biāo)為（1，0），

∴OB=1．

∵OC=3OB=3，點(diǎn)C在x軸下方，

∴C（0，﹣3）．

∵將B（1，0），C（0，﹣3）代入拋物線的解析式得： ，解得：a= ，C=﹣3，

∴拋物線的解析式為y= x2+ x﹣3

（2）

解：如圖1所示：過(guò)點(diǎn)D作DE∥y，交AC于點(diǎn)E．

∵x=﹣ = =﹣ ，B（1，0），

∴A（﹣4，0）．

∴AB=5．

∴S△ABC= ABOC= ×5×3=7.5．

設(shè)AC的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得： ，解得：k=﹣ ，b=﹣3，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x﹣3．

設(shè)D（a， a2+ a﹣3），則E（a，﹣ a﹣3）．

∵DE=﹣ a﹣3﹣（ a2+ a﹣3）=﹣ （a+2）2+3，

∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，DE有最大值，最大值為3．

∴△ADC的最大面積= DEAO= ×3×4=6．

∴四邊形ABCD的面積的最大值為12

（3）

解：存在．

①如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形．

∵C（0，﹣3），令 x2+ x﹣3=﹣3，

∴x1=0，x2=﹣3．

∴P1（﹣3，﹣3）．

②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E2，E3，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，當(dāng)AC=P2E2時(shí)，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當(dāng)AC=P3E3時(shí)，四邊形ACE3P3為平行四邊形．

∵C（0，﹣3），

∴P2，P3的縱坐標(biāo)均為3．

令y=3得： x2+ x﹣3=3，解得；x1= ，x2= ．

∴P2（ ，3），P3（ ，3）．

綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是：P1（﹣3，﹣3），P2（ ，3），P3（ ，3）

【解析】（1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，求出a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸分別交線段AC于點(diǎn)E．設(shè)D（m，m2+2m﹣3），然后求出DE的表達(dá)式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD ， 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；（3）①過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1 ， 過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1 ， 此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2 ， P3 ， 由題意可知點(diǎn)P2、P3的縱坐標(biāo)為3，從而可求得其橫坐標(biāo)．