Question

20．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，2），（-3，0）和（4，0），動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合），沿著x軸的正方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）
（1）操作：
①在圖中畫出△ABO以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的圖形（記為△A′B′O′）．
②在圖中畫出△A′B′O′關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形（記為△A″B″O″）．
（2）設(shè)△A″B″O″與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的定義可以畫出圖象．
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出直線A″B″（用t表示），利用方程組解求點(diǎn)M坐標(biāo)，根據(jù)平行成比例求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用t表示），分3種情形畫出圖象就可以求重疊部分面積．

解答 解：（1）答案見(jiàn)下圖．△A′OB′，△A″O″B″就是所畫．

（2）由題意B″（2t，3），A″（2t-2，0），
設(shè)直線A″B″為y=kx+b，A、B代入得$\left\{\begin{array}{l}{2tk+b=3}\\{（2t-2）k+b=0}\end{array}\right.$解是$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=3-3t}\end{array}\right.$，
∴直線A″B″為y=$\frac{3}{2}x$+3-3t，
∵直線A″B″經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）時(shí)，t=$\frac{1}{3}$，
∴0＜t$\frac{1}{3}$時(shí)，如右圖，
∵A（0，2），B（-3，0），
∴直線AB為y=$\frac{2}{3}X$+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+2}\\{y=\frac{3}{2}x+3-3t}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18t-6}{5}}\\{y=\frac{12t+8}{5}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{18t-6}{5}$，$\frac{12t+8}{5}$）．
∵ON∥AO，
∴$\frac{ON}{AO}$=$\frac{CO″}{CO}$，
∴$\frac{ON}{2}=\frac{4-2t}{4}$，
∴ON=2-t，
∴S_重疊=S_△ABC-S_△BA″M-S_△CNO△″=7-$\frac{1}{2}$•[3-（2-2t）]-$\frac{1}{2}$•（4-2t）•（2-t）=-$\frac{3}{2}{t}^{2}$+3t+$\frac{5}{2}$．
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜t＜2時(shí)，如右圖，
∵A（0，2），C（4，0），
∴直線AC為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=\frac{3}{2}x+3-3t}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3t-1}{2}}\\{y=\frac{9-3t}{4}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{3t-1}{2}$，$\frac{9-3t}{4}$），
∴S_重合=S_△A″CM-S_△CO″N=$\frac{1}{2}$•[4-（2t-2）]•$\frac{9-3t}{4}$-$\frac{1}{2}$•（4-2t）（2-t）=-$\frac{1}{4}$t²+t-$\frac{7}{4}$．

當(dāng)3＜t＜4時(shí)，如右圖，
S_重合=$\frac{1}{2}$[2-（2t-4）]•$\frac{9-3t}{4}$=$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{2}t$+$\frac{27}{4}$，
綜上所述S_重合=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{t}^{2}+3t+\frac{5}{2}}&{（0＜t≤\frac{1}{3}）}\\{-\frac{1}{4}{t}^{2}+t-\frac{7}{4}}&{（\frac{1}{3}＜t≤2）}\\{\frac{3}{4}{t}^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{27}{4}}&{（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、一次函數(shù)等知識(shí)，利用方程組求點(diǎn)M坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，必須掌握正確畫出圖象，學(xué)會(huì)分類討論．