Question

已知關(guān)于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）．

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值；

（3）在（2）的條件下，將關(guān)于的二次函數(shù)y= mx2+(3m+1)x+3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

Answer 1

（1）證明略；（2）m=1；（3）1＜b＜3，b＞．

【解析】

試題分析：（1）求出根的判別式總是非負(fù)數(shù)即可；

（2）由求根公式求出兩個(gè)解，令這兩個(gè)解是整數(shù)求出m即可；

（3）先求出A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)圖像得到b的取值范圍．

試題解析：（1）證明：∵m≠0，∴mx2+(3m+1)x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程.

∴△=(3m+1)2－12m =(3m－1)2． ∵ (3m－1)2≥0， ∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）【解析】
由求根公式，得x1=－3，x2=．

∵方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)， ∴m=1．

（3）【解析】
∵m=1時(shí)，∴y=x2+4x+3．

∴拋物線y=x2+4x+3與x軸的交點(diǎn)為A（－3，0）、B（－1，0）．

依題意翻折后的圖象如圖所示．

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可得b=3． 當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可得b=1． ∴1＜b＜3．

當(dāng)直線y=x+b與y=－x2－4x－3 的圖象有唯一公共點(diǎn)時(shí)，可得x+b=－x2－4x－3，

∴x2+5x+3+b=0， ∴△=52－4(3+b) =0，∴b=．∴b＞．

綜上所述，b的取值范圍是1＜b＜3，b＞．

考點(diǎn)：根的判別式，求根公式的應(yīng)用，函數(shù)的圖像.