【題目】如圖所示,在中,,AD、CE分別平分.求證:
【答案】見解析
【解析】
在AC上取AF=AE,連接OF,即可證得△AEO≌△AFO,得∠AOE=∠AOF;再證得∠COF=∠COD,則根據(jù)全等三角形的判定方法ASA即可證△FOC≌△DOC,可得DC=FC,即可得結(jié)論.
證明:在AC上取AF=AE,連接OF,
∵AD平分∠BAC、
∴∠EAO=∠FAO,
在△AEO與△AFO中,
∴△AEO≌△AFO(SAS),
∴∠AOE=∠AOF;
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB,
∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=(∠ACB+∠BAC)=(180°-∠B)=60°
則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°;
∴∠AOC=∠DOE=120°,∠AOE=∠COD=∠AOF=60°,
則∠COF=60°,
∴∠COD=∠COF,
∴在△FOC與△DOC中,
,
∴△FOC≌△DOC(ASA),
∴DC=FC,
∵AC=AF+FC,
∴AC=AE+CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+mx+n交x軸于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,2).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)M在拋物線上,且S△AOM=2S△BOC,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DN⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DN長度的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料:有這樣一個(gè)問題:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有兩個(gè)不相等的且非零的實(shí)數(shù)根.探究a,b,c滿足的條件.
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程,下面是小明的探究過程:
①設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c(a>0);
②借助二次函數(shù)圖象,可以得到相應(yīng)的一元二次中a,b,c滿足的條件,列表如下:
方程根的幾何意義:
(1)參考小明的做法,把上述表格補(bǔ)充完整;
(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根,一個(gè)正實(shí)根,且負(fù)實(shí)根大于﹣1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形 ABCD 中,E 為 BC 邊中點(diǎn).
(Ⅰ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,點(diǎn) F 為 AD 上一點(diǎn),AF=AB.求證:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,點(diǎn) F,G 均為 AD上的點(diǎn),AF=AB,GD=CD.求證:(1)△GEF 為等邊三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)如圖所示,下列結(jié)論中:
①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1).
其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AO=CO,CD⊥BD,如果CD=3,BC=5,那么AB=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如果某點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和為10,則稱此點(diǎn)為“合適點(diǎn)”例如,點(diǎn)(1,9),(﹣2019,2029)…都是“合適點(diǎn)”.
(1)求函數(shù)y=2x+1的圖象上的“合適點(diǎn)”的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)y=x2﹣5x﹣2的圖象上的兩個(gè)“合適點(diǎn)”A,B之間線段的長;
(3)若二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象上有且只有一個(gè)合適點(diǎn)”,其坐標(biāo)為(4,6),求二次函數(shù)y=ax2+4x+c的表達(dá)式;
(4)我們將拋物線y=2(x﹣n)2﹣3在x軸下方的圖象記為G1,在x軸及x軸上方圖象記為G2,現(xiàn)將G1沿x軸向上翻折得到G3,圖象G2和圖象G3兩部分組成的記為G,當(dāng)圖象G上恰有兩個(gè)“合適點(diǎn)”時(shí),直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=∠C=44°,點(diǎn)D點(diǎn)E分別從點(diǎn)B、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),在線段BC上作等速運(yùn)動(dòng),到達(dá)C點(diǎn)、B點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)停止.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=BE,求∠DAE的度數(shù);
(3)若△ACE的外心在其內(nèi)部時(shí),求∠BDA的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),拋物線的對(duì)稱軸x=1,與y軸交于C(0,﹣3)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及A、B點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形;若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大;求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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