Question

13．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AC=13，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．
（1）求證：CB是∠ECA的角平分線；
（2）求DE的長；
（3）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB的長，證明△BED∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可；
（3）連結(jié)OB，OD，證明△ABO≌△DBO，得到∠DBO=∠ABO，證明OB∥ED，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到EB⊥BO，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD，
∵四邊形BCDA是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCE=∠BAD，即CB是∠ECA的角平分線；
（2）解：∵∠ABC=90°，AC=13，BC=5，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴$\frac{DE}{BA}$=$\frac{BD}{CA}$即$\frac{DE}{12}$=$\frac{12}{13}$，
解得，DE=$\frac{144}{13}$；
（3）證明：連結(jié)OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{OD=OA}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的判定圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、及圓周角定理的應(yīng)用，掌握圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角、同弧所對的圓周角相等、經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．