Question

如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）判斷四邊形OCED的形狀，并進(jìn)行證明；
（2）點(diǎn)E是否在AB的垂直平分線上？若在，請(qǐng)進(jìn)行證明；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DOCE是平行四邊形，進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)得出AO=CO=DO=BO，即可得出四邊形OCED的形狀；
（2）首先得出△ADE≌△BCE（SAS），進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）四邊形OCED是菱形．
理由：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形DOCE是平行四邊形，
∵矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，
∴AO=CO=DO=BO，
∴平行四邊形OCED為菱形；

（2）AE=BE．
理由：連接AE，BE
∵四邊形OCED為菱形，
∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，

AD=BC ∠ADE=∠BCE DE=CE

，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．
∴點(diǎn)E在AB的垂直平分線上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出△ADE≌△BCE是解題關(guān)鍵．