Question

如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)．點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：過B作關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AB′即為PA+PB的最小值，由同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的性質(zhì)可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，由對(duì)稱的性質(zhì)可知∠B′ON=∠BON=30°，即可求出∠AOB′的度數(shù)，再由勾股定理即可求解．

解答：解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OA、OB、OB′、AB′，
則AB′與MN的交點(diǎn)即為PA+PB的最小時(shí)的點(diǎn)，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，
∴∠BON=∠AON=

1

2

×60°=30°，
由對(duì)稱性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′=

2

OA=

2

×1=

2

，
即PA+PB的最小值=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．