Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)C（-2，5）與D（2，-3），且與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求△ABM的面積；
（3）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△MAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）在二次函數(shù)圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變．得到一個(gè)新的圖象，請你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+m（m＜1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是什么？

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)C（-2，5）與D（2，-3）在二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象上，
∴，解得：，
拋物線的解析式為：y=x^2_-2x-3，
∴y=（x-1）²-4
M（1，-4）

（2）當(dāng)y=0時(shí)，則x^2_-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABM==8．

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a²-2a-3），當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，
∴4（a²-2a-3）×=，解得：
a₁=4，a₂=-2，
∴P（4，5）或（-2，5），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)的點(diǎn)不存在．
∴P（4，5）或（-2，5）．

（4）如圖，當(dāng)直線y=x+m（m＜1）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）時(shí)
∴0=-1+m，
∴m=1，
當(dāng)直線y=x+m（m＜1）經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時(shí)，
∴0=3+m，
∴m=-3
∵m＜1，由圖象得：
-3＜m＜1．
分析：（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)代入解析式就可以求出拋物線的解析式，再化為頂點(diǎn)式就可以求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)M．
（2）當(dāng)y=0時(shí)，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)就可以求出AB的值，△ABM的高就是M的縱坐標(biāo)的高的絕對值．利用三角形的面積公式就可以求出其面積．
（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)條件S_△PAB=S_△MAB建立等量關(guān)系就可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）當(dāng)直線y=x+m（m＜1）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，可以求出m的值，當(dāng)直線y=x+m（m＜1）經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時(shí)可以求出m的值，再 根據(jù)圖象就可以求出m的取值范圍．
點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，三角形面積公式的運(yùn)用，拋物線與直線的交點(diǎn)情況的關(guān)系．