Question

已知AB是半圓⊙O的直徑，C是半圓⊙O上一點，且AC•BC=OC²，則∠CBA的度數(shù)等于

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題,三角形的面積,圓周角定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：

分析：作CF⊥AB于F，連接OC，結(jié)合條件運用等積法可得OC²=AC•BC=AB•CF，由AB=2OC可得CF=

1

2

OC，從而可得∠COF=30°，根據(jù)圓周角定理可得∠CAB=15°，從而有∠CBA=75°．然后根據(jù)對稱性可得到當(dāng)點C在點C′（點C與點C′關(guān)于AB的垂直平分線對稱）時的∠CBA的值，問題得以解決．

解答：解：作CF⊥AB于F，連接OC，如圖．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴S_△ACB=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CF，
即AC•BC=AB•CF．
∵AC•BC=OC²，
∴OC²=AB•CF．
∵AB=2OC，
∴CF=

1

2

OC．
在Rt△OFC中，
∵sin∠COF=

CF

OC

=

1

2

，
∴∠COF=30°，
∴∠CAB=15°．
∴∠CBA=75°．
由對稱性可知；當(dāng)點C在點C′（點C與點C′關(guān)于AB的垂直平分線對稱）時，∠CBA=15°．
故答案為：75°或15°．

點評：本題考查了圓周角定理、三角形的面積公式、特殊角的三角函數(shù)值，考查了運用對稱性解題，在解決問題的過程中，容易出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，需引起注意．