Question

情景觀察：將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示，將將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．

觀察圖2可知：與BC相等的線段是　　　　　　，∠CAC′=　　　　　　°；

問題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H，若AB=kAE、AC=kAF，探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：觀察圖2即可發(fā)現(xiàn)△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，

∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；

故答案為：AD，90；

問題探究：FQ=EP，

理由如下：

∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，

∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，

又∵AF=AC，

在△AFQ與△CAG中，

，

∴△AFQ≌△CAG（AAS），

∴FQ=AG，

同理EP=AG，

∴FQ=EP；

拓展延伸：HE=HF，

理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q，

∵四邊形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

又AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP．

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，

∴AG：EP=AB：EA，

同理△ACG∽△FAQ，

∴AG：FQ=AC：FA，

∵AB=k•AE，AC=k•AF，

∴AB：EA=AC：FA=k，

∴AG：EP=AG：FQ，

∴EP=FQ，

又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，

在Rt△EPH與Rt△FQH中，

，

∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS），

∴HE=HF．