Question

如圖，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6
（1）試判斷△ACD的形狀并說明理由．
（2）把△ACD沿直線AC翻折，使點D落在點D′處，CD′交AB于點E． 若重疊部分面積為4，求D′E的長．

Answer 1

解：（1）∵∠B=90°，AB=BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=32，
∴AC=4，
∵AD=2，CD=6，
∴AD²=4，CD²=36，
∴AD²+AC²=CD²，
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°；

（2）由折疊的性質(zhì)可得：S_△ACD′=S_△ACD=AD•AC=×2×4=4，CD′=CD=6，
∵重疊部分面積為4，
即S_△AEC=4，
∴S_△AD′E=S_△ACD′-S_△AD′E=4-4，
∵△AD′E與△AEC同高，
∴S_△AD′E：S_△AEC=D′E：EC=（4-4）：4=（-1）：1，
∵CD′=D′E+EC=6，
∴D′E=×6=6-3．
分析：（1）由∠B=90°，AB=BC=4，利用勾股定理即可求得AC的長，然后利用勾股定理的逆定理，則可證得△ACD是直角三角形；
（2）由折疊的性質(zhì)，可求得△ACD′的面積，又由重疊部分面積為4，利用等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可得S_△AD′E：S_△AEC=D′E：EC=（4-4）：4=（-1）：1，繼而可求得答案．
點評：此題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．