Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx-8（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，T為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）在x軸下方的拋物線上有一點(diǎn)D，以A，C，D，B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形ACDB是等腰梯形，請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)B作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心的圓過(guò)原點(diǎn)，且與直線l₁，l₂都相切？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）直線CT交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F（m，n）是射線ET上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將拋物線沿其對(duì)稱軸向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，若平移后的拋物線與線段EF只有一個(gè)公共點(diǎn)，試分別計(jì)算實(shí)數(shù)m，n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出其解析式，然后在求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，點(diǎn)D與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，列方程求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，y），可以判定以兩垂足與點(diǎn)P、B為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，利用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出圓的半徑OP以及正方形的對(duì)角線PB的長(zhǎng)度，再根據(jù)正方形的對(duì)角線與邊的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)（1）中二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)C、T的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CT的解析式，再根據(jù)平移寫(xiě)出平移后的二次函數(shù)解析式，然后兩解析式聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)F位于兩交點(diǎn)之間（包含左邊交點(diǎn)，不包含右邊交點(diǎn)）即可滿足平移后的拋物線與線段EF只有一個(gè)公共點(diǎn)，然后根據(jù)交點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出m、n的取值范圍即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得，

4a-2b-8=0 16a+4b-8=0

，
解得

a=1 b=-2

，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-2x-8，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-8，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-8），
∵四邊形ACDB是等腰梯形，
∴當(dāng)y=-8時(shí)，x²-2x-8=-8，
解得x₁=0，x₂=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，-8）；

（2）存在．
理由如下：如圖，根據(jù)（1），
∵y=x²-2x-8，
∴二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
∵直線l₁，l₂互相垂直，⊙P與直線l₁，l₂都相切，
∴過(guò)兩垂足與點(diǎn)PB的四邊形是正方形，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，y），
則OP=

12+y2

=

1 +y2

，
PB=

(4-1)2+(0-y)2

=

9 +y2

，
∴

9 +y2

=

2

1 +y2

，即9+y²=2（1+y²），
可得y²=7，
解得y=±

7

，
∴存在點(diǎn)P（1，

7

）或（1，-

7

）；

（3）∵y=x²-2x-8y=（x-1）²-9，T為拋物線的頂點(diǎn)，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)是（1，-9），
設(shè)直線CT的解析式是y=kx+b₁，
則

b1=-8 k+b1=-9

，
解得

k=-1 b1=-8

，
∴直線CT的解析式是y=-x-8，
拋物線向下平移兩個(gè)單位的解析式是y=x²-2x-8-2，
即y=x²-2x-10，
兩解析式聯(lián)立得，

y=-x-8 y=x2-2x-10

，
解得

x1=-1 y1=-7

，

x2=2 y2=-10

，
∴兩交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，-7），（2，-10），
欲使平移后的拋物線與線段EF只有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)F位于兩交點(diǎn)之間，且包含左邊交點(diǎn)，不包含右邊交點(diǎn)，
∴-1≤m＜2，-10＜n≤-7．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，以及等腰梯形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，先求出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．