Question

12．如圖，拋物線y=（x-m）²+n的頂點(diǎn)P在直線y=2x上，該拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為Q．
（1）當(dāng)m=n-1時(shí)，求m的值；
（2）當(dāng)AQ∥x軸時(shí)，試確定拋物線的解析式；
（3）隨著頂點(diǎn)P在直線y=2x上的運(yùn)動(dòng)，是否存在直角△PAQ？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點(diǎn)在y=2x上可知n=2m，然后由m=n-1可求得m的值；
（2）先求得點(diǎn)Q、點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含m的式子表示），然后根據(jù)平行與x軸的直線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等列出關(guān)于m的方程，從而可求得m的值；
（3）先求得直線AQ、PQ的一次項(xiàng)系數(shù)“k”的值（用含m的式子表示），然后依據(jù)相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積是-1，分別列出關(guān)m的方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為y=（x-m）²+n，
∴P（m，n）．
∵頂點(diǎn)P在直線y=2x上，
∴n=2m．
又∵m=n-1，
∴m=2m-1．
解得：m=1．
（2）∵n=2m，
∴拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m．
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=m²+2m，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，m²+2m）．
由y=（x-m）²+2m與y=2x得：2x=（x-m）²+2m，解得：x₁=m，x₂=m+2．
當(dāng)x=m時(shí)，y=2m，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m），
當(dāng)x=m+2時(shí)，y=2m+4，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m+2，2m+4）．
∵AQ∥x軸，
∴m²+2m=2m+4，解得：m=2或m=-2．
∵當(dāng)m=-2時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)Q與原點(diǎn)重合，與AQ∥x軸不符，
∴m=-2不合題意．
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=（x-2）²+4．
（3）∵Q（0，m²+2m），P（m，2m），A（m+2，2m+4），
∴直線AQ的一次項(xiàng)系數(shù)=$\frac{2m+4-（{m}^{2}+2m）}{m+2-0}$=-m+2，直線PQ的一次項(xiàng)系數(shù)=$\frac{2m-（{m}^{2}+2m）}{m-0}$=-m．
①當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，-m（-m+2）=-1，解得m₁=m₂=1，則P（1，2）；
②當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，-m×2=-1，解得m=$\frac{1}{2}$，則P（$\frac{1}{2}$，1）；
③當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，（-m+2）×2=-1，解得m=$\frac{5}{2}$，則P（$\frac{5}{2}$，5）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（$\frac{1}{2}$，1）或P（$\frac{5}{2}$，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，依據(jù)平行與x軸的直線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等、相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積是-1列出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．