Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC交BD于G，且cos∠BGC=

1

2

，E、F分別為AG、DC的中點．EF=6cm．
（1）求證：△BGC為正三角形；
（2）求等腰梯形的腰長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質,等腰梯形的性質

專題：

分析：（1）根據已知條件先求得△ABC≌DCB，得出對應角相等，然后依據三角函數(shù)求得∠BGC=60°得出結果．
（2）依據等邊三角形的性質，看求得三角形DEC為直角三角形，再依據直角三角形的性質求得．

解答：（1）證明∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC
∴梯形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠DCB
又∵AB=DC，BC=BC
在△ABC和△DCB中，

AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=BC

，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴∠ACB=∠DBC     
又∵cos∠BGC=

1

2

∴∠BGC=60°
∴△BGC是等邊三角形．

（2）解：連結ED．
∵同理可證△AGD也是等邊三角形
又∵點E平分AG，
∴DE⊥AG
∴△DEC是直角三角形
又∵點F平分DC
∴DC=2EF=2×6=12．

點評：本題考查了全等三角形的判定、直角三角形的性質、等邊三角形的性質等，作輔助線是本題的關鍵．