Question

試找出由0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，能被165整除的最大數(shù)和最小數(shù)（要求寫(xiě)出推理過(guò)程）．

Answer 1

【答案】分析：先把165分解成幾個(gè)整數(shù)的積的形式，再判斷出此7位數(shù)能被165整除的條件是排成的7位數(shù)只需能同時(shí)被11，5整除，據(jù)能被11整除的數(shù)的性質(zhì)，設(shè)7位數(shù)奇位上的數(shù)字和為x，偶數(shù)位上的數(shù)字和為y，則
x-y是11的倍數(shù)而x-y與x+y的奇偶性相同，且x+y=21，求出x、y的值，再根據(jù)次數(shù)可被7整除則其末位數(shù)必為0或5，根據(jù)此條件將這一組數(shù)進(jìn)行分類即可求解．
解答：解：∵165=3×5×11
∴此7位數(shù)必同時(shí)能被3，5，11整除，而0+1+2+3+4+5+6=21能被3整除，
∴排成的7位數(shù)只需能同時(shí)被11，5整除即可，
根據(jù)能被11整除的數(shù)的性質(zhì)，設(shè)7位數(shù)奇位上的數(shù)字和為x，偶數(shù)位上的數(shù)字和為y，則
x-y是11的倍數(shù)而x-y與x+y的奇偶性相同，且x+y=21，
∴只有x-y=11或-11，即x=5，y=16或x=16，y=5
∵7位數(shù)能被5整除，
∴其末位數(shù)必為0或5，
當(dāng)末位數(shù)必為0或5時(shí)，找不到4個(gè)數(shù)的和為5，
∴只有x=16，y=5，即該7位數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字和為16，偶數(shù)位上的數(shù)字和為5，且其末位數(shù)必為5．
只有兩組分法：
①、奇數(shù)位上的數(shù)字（1，4，6，5），偶數(shù)位上的數(shù)字（0，2，3）
②、奇數(shù)位上的數(shù)字（2，3，5，6）偶數(shù)位上的數(shù)字（0，1，4）
①中最大數(shù)和最小數(shù)分別為6342105和1042635；②中最大數(shù)和最小數(shù)分別為6431205和2031645
∴所求的最大數(shù)和最小數(shù)分別為6431205和1042635．
故答案為：6431205和1042635．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)的整除性問(wèn)題，熟知能同時(shí)被3、7、11整除的數(shù)的特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．