Question

（2010•徐州）如圖，已知二次函數(shù)y=的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．
（1）點A的坐標為______，點C的坐標為______；
（2）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應的點P有且只有2個？

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數(shù)與y軸交點A的縱坐標，令y=0即得二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標．
（2）根據(jù)A、C的坐標，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：
①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此時A點符合E點的要求，即此時A、E重合；
②CE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E點橫坐標為點D的橫坐標加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點E的坐標；
③CD=CE，此時CE=5，過E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長，即可通過相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長，從而得到點E的坐標．
（3）過P作x軸的垂線，交AC于Q，交x軸于H；設出點P的橫坐標（設為m），根據(jù)拋物線和直線AC的解析式，即可表示出P、Q的縱坐標，從而可得到PQ的長，然后分兩種情況進行討論：
①P點在第一象限時，即0＜m＜8時，可根據(jù)PQ的長以及A、C的坐標，分別表示出△APQ、△CPQ的面積，它們的面積和即為△APC的面積，由此可得到S的表達式，通過配方即可得到S的取值范圍；
②當P在第二象限時，即-2＜m＜0時，同①可求得△APQ、△CPQ的面積，此時它們的面積差為△APC的面積，同理可求得S的取值范圍；根據(jù)兩個S的取值范圍，即可判斷出所求的結論．
解答：解：（1）在二次函數(shù)中令x=0得y=4，
∴點A的坐標為（0，4），
令y=0得：，
即：x²-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴點B的坐標為（-2，0），點C的坐標為（8，0）．

（2）易得D（3，0），CD=5，
設直線AC對應的函數(shù)關系式為y=kx+b，則：
，
解得；
∴y=-x+4；
①當DE=DC時，
∵OA=4，OD=3，
∴DA=5，
∴E₁（0，4）；
②過E點作EG⊥x軸于G點，
當DE=EC時，由DG==，
把x=OD+DG=3+=代入到y(tǒng)=-x+4，求出y=，
可得E₂（，）；
③當DC=EC時，如圖，過點E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴，又OA=4，OC=8，則AC=4，DC=EC=5，
∴EG=，CG=2，
∴E₃（8-2，）；
綜上所述，符合條件的E點共有三個：E₁（0，4）、E₂（，）、E₃（8-2，）．

（3）如圖，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC與點Q；
設P（m，-m²+m+4），則Q（m，-m+4）．
①當0＜m＜8時，
PQ=（-m²+m+4）-（-m+4）=-m²+2m，
S=S_△APQ+S_△CPQ=×8×（-m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
②當-2≤m＜0時，
PQ=（-m+4）-（-m²+m+4）=m²-2m，
S=S_△CPQ-S_△APQ=×8×（m²-2m）=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20；
∴當0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，-2＜m＜0中m有一個值，此時有三個；
當16＜S＜20時，-2＜m＜0中m只有一個值；
當S=16時，m=4或m=4-4這兩個．
故當S=16時，相應的點P有且只有兩個．
點評：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、等腰三角形的構成條件、圖形面積的求法等知識，（3）題的解題過程并不復雜，關鍵在于理解題意．