Question

20．如圖，在Rt△ABC中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AC．
（1）若BD=DA，試探究AG與BF數(shù)量關(guān)系；
（2）若BD=kDA，AG與BF數(shù)量關(guān)系如何，加以證明．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC，與AF延長(zhǎng)線交于N，過(guò)D作DM∥AC，由AE是Rt△ACD斜邊的中線，得到AE=CE=DE，推出△ACE∽△FGE，得到△EFG是等腰三角形，證得AF=CG，推出△AGC≌△CFA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAC=∠EMD，推出△AEC≌△MED，證得AC=MD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AB}=\frac{MD}{BN}=\frac{1}{2}$，求得$\frac{AC}{BN}=\frac{1}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)DA=a，則BD=ka，則AB=（1+k）a，推出$\frac{DM}{BN}=\frac{AD}{AB}$，于是得到$\frac{AC}{BN}=\frac{a}{（1+k）a}=\frac{1}{1+k}$，證得$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BN}=\frac{1}{1+k}$，即BF=（1+k）CF，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）BF=2AG，
證明：過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC，與AF延長(zhǎng)線交于N，過(guò)D作DM∥AC，
∵AE是Rt△ACD斜邊的中線，
∴AE=CE=DE，
∵FG∥AC，
∴△ACE∽△FGE，
∴△EFG是等腰三角形，
∴EF=EG，
∴AE+EF=CE+EG，
∴AF=CG，
在△AGC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{∠ECA=∠EAC}\\{CG=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CFA，
∴AG=CF，DM∥BN∥AC，
∴∠EAC=∠EMD，
在△AEC與△MED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠EMD}\\{∠AEC=∠DEM}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△MED，
∴AC=MD，
∴△AMD∽△ANB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{MD}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴△ACF∽△NBF，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴BF=2CF=2AG；

（2）BD=kDA，設(shè)DA=a，
則BD=ka，則AB=（1+k）a，
∴$\frac{DM}{BN}=\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{AC}{BN}=\frac{a}{（1+k）a}=\frac{1}{1+k}$，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BN}=\frac{1}{1+k}$，
即BF=（1+k）CF，
∴BF=（k+1）AG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．