Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．

（1）求證：DE⊥AC；

（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題（1）連接OD，可以證得DE⊥OD，然后證明OD∥AC即可證明DE⊥AC；

（2）利用△ADE∽△CDE，求出DE與CE的比值即可．

試題解析: （1）證明：連接OD，

∵D是BC的中點，OA=OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE是⊙O的切線，

∴OD⊥DE，

∴DE⊥AC；

（2）解：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，

∴∠ADE=∠DCE

在△ADE和△CDE中，

∴△CDE∽△ADE，

∴，

設tan∠ACB=x，CE=a，則DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，

∴，整理得：x2﹣3x+1=0，

解得：x=，

∴tan∠ACB=．