Question

已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點P，
求證：BP=2PQ．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，然后求出∠BPQ=60°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠PBQ=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半證明即可．

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠C=60° AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BP=2PQ．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖求出△BPQ是含30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵．