Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A，點B的坐標為（0，-3），將線段AB繞平面某點旋轉(zhuǎn)180°的線段CD，且點C、D正好落在拋物線y=-x²+2x+3的圖象上，求點C、D的坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：設旋轉(zhuǎn)中心為（a，b），根據(jù)中心對稱表示出點C、D的坐標，然后代入二次函數(shù)解析式求出a、b的值，即可得解．

解答：解：∵拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A，
∴A（-1，0）或（3，0）
設旋轉(zhuǎn)中心為（a，b），
∵線段AB繞平面某點旋轉(zhuǎn)180゜得線段CD，
∴點C（2a+1，2b），D（2a，2b+3），
∵點C、D正好落在y=-x²+2x+3的圖象上，
∴

2b=-(2a+1)2+2(2a+1)+3 2b+3=-(2a)+2×2a+3

，此方程組無解；
∴點C應該是（2a-3，2b），D（2a，2b+3），
∴

2b=-(2a-3)2+2(2a-3)+3 2b+3=-(2a)2+2×2a+3

，
解得

a=1 b=0

．
∴點C（3，0），D（2，3）．

點評：本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，反二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用旋轉(zhuǎn)中心表示出點C、D的坐標是解題的關鍵．