Question

18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），二次函數(shù)y=-x²的圖象為l₁．
（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，但不過(guò)點(diǎn)B．
①滿足此條件的函數(shù)解析式有無(wú)數(shù)個(gè)．
②寫出向下平移且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的解析式y(tǒng)=-x²-1．
（2）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，所得的拋物線l₂，如圖2，求拋物線l₂．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)實(shí)際情況可以直接寫出結(jié)果；
②設(shè)平移以后的二次函數(shù)解析式是：y=-x²+c，把（1，-2）代入即可求得c的值，得到函數(shù)的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，求得△ABC的面積；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方和上方兩種情況進(jìn)行討論求解．

解答 解：（1）①滿足此條件的函數(shù)解析式有無(wú)數(shù)個(gè)；
②設(shè)平移以后的二次函數(shù)解析式是：y=-x²+c，把A（1，-2）代入得：-1+c=-2，
解得：c=-1，則函數(shù)的解析式是：y=-x²-1；
故答案為：①無(wú)數(shù)個(gè)；②y=-x²-1．
（2）設(shè)l₂的解析式是y=-x²+bx+c，
∵l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-2）和B（3，-1），
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-1+b+c}\\{-1=-9+3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，則l₂的解析式是：y=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$，
則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（$\frac{9}{4}$，-$\frac{7}{16}$）．
過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則AD=2，CF=$\frac{7}{16}$，BE=1，DE=2，DF=$\frac{5}{4}$，F(xiàn)E=$\frac{3}{4}$．
所以S_△ABC=S_梯形ABED-S_梯形BCFE-S_梯形ACFD=$\frac{15}{16}$．
（3）如圖所示：延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)G．

直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，-$\frac{5}{2}$），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，h）
①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的下方時(shí)，PG=-$\frac{5}{2}$-h，連結(jié)AP、BP，則S_△APG=S_△BPG-S_△ABP=$\frac{1}{2}×$1×（-$\frac{5}{2}$-h），
∴S_△ABP=（-$\frac{5}{2}$-h）．
又∵S_△ABC=S_△ABP=$\frac{15}{16}$，得h=-$\frac{55}{16}$，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{55}{16}$）．
②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)G的上方時(shí)，PG=$\frac{5}{2}$+h，同理得h=-$\frac{25}{16}$，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{25}{16}$）．
綜上所述所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-$\frac{55}{16}$）或（0，-$\frac{25}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，正確理解平移時(shí)，函數(shù)解析式的變化規(guī)律是關(guān)鍵．